已知函式在點處的切線是.(1)求函式的極值;(2)當恆成立時,求實數的取值範圍(為自然對數的底數).
問題詳情:
已知函式在點處的切線是.
(1)求函式的極值;
(2)當恆成立時,求實數的取值範圍(為自然對數的底數).
【回答】
【解析】(Ⅰ)因為,所以,
因為點處的切線是,所以,且
所以,即()
所以,所以在上遞增,在上遞減
所以的極大值為,無極小值.
(Ⅱ)當在恆成立時, 由(Ⅰ),
即在恆成立,
【法一】設,則,,
又因為,所以當時,;當時,.
所以在上單調遞減,在上單調遞增,;
在上單調遞增,在上單調遞減,.
所以均在處取得最值,所以要使恆成立,
只需,即,解得,又,
所以實數的取值範圍是.
【法二】設(),則
當 時,,,則,,即
當 時,,,則,,即
所以在上單調遞增,在上單調遞減.
所以,即,又
所以實數的取值範圍是.
知識點:基本初等函式I
題型:解答題
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