已知函式，其中.（1）是否存在實數使是函式的極值點；（2）若對任意的（為自然對數的底數）都有成立，求實數的取值...

問題詳情：

已知函式，其中.

（1）是否存在實數使是函式的極值點；

（2）若對任意的（為自然對數的底數）都有成立，求實數的取值範圍。

【回答】

解．（1）∵，其定義域為，   ∴．                

∵是函式的極值點，∴，即．                                         

∵，∴．   檢驗當時，是函式的極值點，

∴．　    ……………………………………5

（2）解：對任意的都有≥成立等價於對任意的都有≥．  …………………6分

當［1，］時，．

∴函式在上是增函式．

∴．    …………………8分

∵，且，．…………………9分

①當且［1，］時，，

∴函式在［1，］上是增函式，

∴.

由≥，得≥，

又，∴不合題意．  …………………11分

②當1≤≤時，

若1≤＜，則，

若＜≤，則．

∴函式在上是減函式，在上是增函式．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤． …………………12分

③當且［1，］時，，

∴函式在上是減函式．∴.

由≥，得≥，又，∴．

綜上所述，的取值範圍為 …………………14分

知識點：導數及其應用

題型：解答題