已知函式，其中為自然對數的底數．（1）試判斷函式的單調*；（2）若對任意的，不等式恆成立，求實數的取值範圍．

問題詳情：

已知函式，其中為自然對數的底數．

（1）試判斷函式的單調*；

（2）若對任意的，不等式恆成立，求實數的取值範圍．

【回答】

【解析】（1）由題可知f′（x）=aex-1，

當a≤0時，f′（x）＜0，函式f(x)在R上單調遞減，

當a＞0時，令aex-1=0,可得x=-1na，

若x∈（-∞，-1na）,則f′（x）＜0，所以函式f（x）在（-∞，-1na）上單調遞減；

若x∈（-1na，+∞），則f′（x）＞0，所以函式f（x）在（-1na，+∞）上單調遞增.

綜上，當a≤0時，函式f(x)在R上單調遞減；當a＞0時，函式f(x)在（-∞，-1na）上單調遞減，

在（-1na1，+∞）上單調遞增.

（2）由題可知對任意的，不等式恆成立，

即對任意的，恆成立，

令，則原問題等價於，．

顯然函式在上單調遞減，

令，，

則當時，，

所以函式在上單調遞減，所以函式在上單調遞減，

所以函式在的最大值為，

所以，故實數的取值範圍為．

知識點：基本初等函式I

題型：解答題