已知函式．（1）如果a＞0，函式在區間上存在極值，求實數a的取值範圍；（2）當x≥1時，不等式恆成立，求實數k...

問題詳情：

已知函式．

（1）如果a＞0，函式在區間上存在極值，求實數a的取值範圍；

（2）當x≥1時，不等式恆成立，求實數k的取值範圍．

【回答】

考點：

實際問題中導數的意義；函式在某點取得極值的條件．

專題：

壓軸題；導數的綜合應用．

分析：

（1）因為，x＞0，x＞0，則，利用函式的單調*和函式f（x）在區間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，能求出實數a的取值範圍．

（2）不等式，即為，建構函式，利用導數知識能求出實數k的取值範圍．

解答：

解：（1）因為，x＞0，則，（1分）

當0＜x＜1時，f'（x）＞0；

當x＞1時，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，所以函式f（x）在x=1處取得極大值．

因為函式f（x）在區間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，

所以解得．

（2）不等式，即為，記，

所以=

令h（x）=x﹣lnx，

則，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，

從而g'（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，所以[g（x）]min=g（1）=2，

所以k≤2．

點評：

本題考查極值的應用，應用滿足條件的實數的取值範圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和分類討論法的合理運用．

知識點：導數及其應用

題型：解答題