已知函式f（x）=﹣4cos2x+4asinxcosx+2，若f（x）的圖象關於點（，0）對稱．（1）求實數a...

問題詳情：

已知函式f（x）=﹣4cos2x+4asinxcosx+2，若f（x）的圖象關於點（，0）對稱．

（1）求實數a，並求出f（x）的單調減區間；

（2）求f（x）的最小正週期，並求f（x）在[﹣，]上的值域．

【回答】

【解答】解：（1）∵函式f（x）=﹣4cos2x+4asinxcosx+2=2asin2x﹣2cos2x，

∵f（x）的圖象關於點（，0）對稱．

∴a﹣=0，

解得：a=1，

∴函式f（x）=2sin2x﹣2cos2x=4sin（2x﹣），

由2x﹣∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：

x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，

故f（x）的單調減區間為[+kπ，+kπ]，k∈Z；

（2）由（1）中函式解析式可得ω=2，

故T=π，

當x∈[﹣，]時，2x﹣∈[﹣，]，

當2x﹣=﹣，即x=﹣時，函式取最小值﹣4，

當2x﹣=，即x=時，函式取最大值2，

故f（x）在[﹣，]上的值域為[﹣4，2]．

知識點：三角恆等變換

題型：解答題