函式f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求函式f（x）的單調區間和極值；（2）若關於x的方程f（x）=a有...

問題詳情：

函式f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．

（1）求函式f（x）的單調區間和極值；

（2）若關於x的方程f（x）=a有三個不同的實根，求實數a的取值範圍．

【回答】

【考點】利用導數研究函式的單調*；利用導數研究函式的極值．

【專題】導數的綜合應用．

【分析】（1）首先求出函式的導數，然後根據導數與單調區間的關係確定函式的單調區間，

（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函式圖象的變化情況，可知方程f（x）=a有3個不同實根，求得實數a的值．

【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6=3（x2﹣2），

令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，

令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，

∴函式f（x）的遞減區間是，遞增區間是與；

當時，有極大值，當時，有極小值；

（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，

∴當5﹣4＜a＜5+4時，

直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點，

即方程f（x）=a有三解，

∴．

【點評】考查利用導數研究函式的單調*和圖象，體現了數形結合的思想方法．本題是一道含引數的函式、導數與方程的綜合題，需要對引數進行分類討論．屬中檔題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題