設函式f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其圖象關於直線x=0對稱，則（　　）A．...

問題詳情：

設函式f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其圖象關於直線x=0對稱，則（　　）

A．y=f（x）的最小正週期為π，且在（0，）上為增函式

B．y=f（x）的最小正週期為，且在（0，）上為增函式

C．y=f（x）的最小正週期為π，且在（0，）上為減函式

D．y=f（x）的最小正週期為，且在（0，）上為減函式

【回答】

C【考點】三角函式的週期*及其求法；三角函式中的恆等變換應用；餘弦函式的對稱*；函式y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．

【專題】計算題；三角函式的影象與*質．

【分析】通過兩角和與差的三角函式化簡函式為一個角的一個三角函式的形式，求出函式的最小正週期，再由函式圖象關於直線x=0對稱，將x=0代入函式解析式中的角度中，並令結果等於kπ（k∈Z），再由φ的範圍，求出φ的度數，代入確定出函式解析式，利用餘弦函式的單調遞減區間確定出函式的得到遞減區間為[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函式在（0，）上為減函式，進而得到正確的選項．

【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）

=2[sin（2x+φ）+cos（2x+φ）]

=2sin（2x+φ+），

∴ω=2，

∴T==π，

又函式圖象關於直線x=0對稱，

∴φ+=kπ+（k∈Z），

即φ=kπ（k∈Z），

又|φ|＜，

∴φ=，

∴f（x）=2cos2x，

令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），

解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函式的遞減區間為[kπ，kπ+]（k∈Z），

又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），

∴函式在（0，）上為減函式，

則y=f（x）的最小正週期為π，且在（0，）上為減函式．

故選：C．

【點評】本題考查了兩角和與差的三角函式，三角函式的週期*及其求法，餘弦函式的對稱*，餘弦函式的單調*，以及兩角和與差的餘弦函式公式，其中將函式解析式化為一個角的餘弦函式是本題的突破點．

知識點：三角函式

題型：選擇題