已知函式f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是實數）．（I）求f（x）的單調區間；（II）若設2（e+）＜a...

問題詳情：

已知函式f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是實數）．

（I）求f（x）的單調區間；

（II）若設2（e+）＜a＜，且f（x）有兩個極值點x1,x2（x1＜x2）,

求f（x1）﹣f（x2）取值範圍．（其中e為自然對數的底數）．

【回答】

解：（1）∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是實數），

∴f（x）的定義域為（0，+∞），=

令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，對稱軸x=，g（0）=2，

當△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4時，f′（x）≥0，

∴函式f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無單調遞減區間．…

當△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4時，

①若a＜﹣4，則f′（x）＞0恆成立，

∴f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無減區間．…

②若a＞4，令f′（x）=0，得，，

當x∈（0，x1）∪（x2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0．

∴f（x）的單調遞增區間為（0，x1），（x2，+∞），單調遞減區間為（x1，x2）．…

綜上所述：當a≤4時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無單調遞減區間．

當a＞4時，f（x）的單調遞增區間為（0，x1）和（x2，+∞），單調遞減區間為（x1，x2）

（2）由（1）知，若f（x）有兩個極值點，則a＞4，且x1+x2=＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，

又∵，a=2（），，e+＜＜3+，

又0＜x1＜1，解得．…

∴f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）

=（）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）

=（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）+2ln

=﹣（）•（x1+）+4lnx1

=，…

令h（x）=，（），

則＜0恆成立，

∴h（x）在（）單調遞減，∴h（）＜h（x）＜h（），

即﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣4ln3，

故f（x1）﹣f（x2）的取值範圍為（，）．

知識點：導數及其應用

題型：綜合題