已知函式f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．（1）求a的值，並寫出函式f...

問題詳情：

已知函式f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．

（1）求a的值，並寫出函式f（x）的最小正週期（不需*）；

（2）是否存在正整數k，使得函式f（x）在區間[0，kπ]內恰有2017個零點？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）函式f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，

∵f（）=﹣．

∴a（sin+cos）﹣sin﹣1=﹣．

解得：a=1，

函式f（x）的最小正週期T=π，

（2）存在n=504，滿足題意：

理由如下：

當時，，

設t=sinx+cosx，則 ，sin2x=t2﹣1，

則，可得 t=1或，

由t=sinx+cosx圖象可知，x在上有4個零點滿足題意．

當時，，t=sinx﹣cosx，

則 ，sin2x=1﹣t2，

，，t=1或，

∵，

∴x在上不存在零點．

 綜上討論知：函式f（x）在[0，π）上有4個零點，而2017=4×504+1，

因此函式在[0，504π]有2017個零點，所以存在正整數k=504滿足題意．

知識點：三角函式

題型：解答題