已知函式f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求實數a的取...

問題詳情：

已知函式f（x）=xlnx．

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求實數a的取值範圍．

（Ⅲ）若關於x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值範圍．

【回答】

【考點】6E：利用導數求閉區間上函式的最值；6B：利用導數研究函式的單調*．

【分析】（Ⅰ）求出函式的導數，解關於導函式的不等式，求出函式的單調區間，從而求出函式的最小值；

（Ⅱ）a≤lnx+（x≥1）恆成立，令g（x）=lnx+，則a≤g（x）min（x≥1）恆成立；根據函式的單調*求出g（x）的最小值，從而求出a的範圍即可；

（Ⅲ）問題轉化為y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點，根據函式的單調*求出b的範圍即可．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=1+lnx，

令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，

故f（x）min=f（）=ln=﹣；

（Ⅱ）∵f（x）=xlnx，

當x≥1時，f（x）≥ax﹣1恆成立

⇔xlnx≥ax﹣1（x≥1）恆成立

⇔a≤lnx+（x≥1）恆成立，

令g（x）=lnx+，則a≤g（x）min（x≥1）恆成立；

∵g′（x）=﹣=，

∴當x≥1時，f′（x）≥0，

∴g（x）在．

（Ⅲ）若關於x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實數根，

即y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點，

由（Ⅰ）0＜x＜時，f（x）＜0，

f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，

f（x）min=f（）=ln=﹣；

故﹣＜b＜0時，滿足y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點，

即若關於x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實數根，則﹣＜b＜0．

知識點：導數及其應用

題型：解答題