已知函式f（x）=（e是自然對數的底數），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（1）求曲線y=f（x）在點A（1，f（...

問題詳情：

已知函式f（x）=（e是自然對數的底數），h（x）=1﹣x﹣xlnx．

（1）求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；

（2）求h（x）的單調區間；

（3）設g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導函式，*：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．

【回答】

【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；6E：利用導數求閉區間上函式的最值．

【分析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；

（2）求導數，利用導數的正負，求h（x）的單調區間；

（3）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，確定當x∈（0，+∞）時，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．當x∈（0，+∞）時，0＜＜1，即可*結論．

【解答】解：（1）f（x）=的導數為=，

可得曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線斜率為0，

切點為（1，），可得曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y=；

（2）h（x）=1﹣x﹣xlnx求導數得h′（x）=﹣1﹣（1+lnx），x∈（0，+∞），

令h′（x）=﹣2﹣lnx=0，x∈（0，+∞），可得x=e﹣2，

當x∈（0，e﹣2）時，h′（x）＞0；當x∈（e﹣2，+∞）時，h′（x）＜0．

因此h（x）的單調遞增區間為（0，e﹣2），單調遞減區間為（e﹣2，+∞）；

（2）*：因為g（x）=xf′（x）．

所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．

由h（x）=1﹣x﹣xlnx，

求導得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），

所以當x∈（0，e﹣2）時，h′（x）＞0，函式h（x）單調遞增；

當x∈（e﹣2，+∞）時，h′（x）＜0，函式h（x）單調遞減．

所以當x∈（0，+∞）時，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．

又當x∈（0，+∞）時，0＜＜1，

所以當x∈（0，+∞）時， h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．

綜上所述，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．

知識點：導數及其應用

題型：解答題