已知函式f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．（1）*：f′（x）在區間（0，π...

問題詳情：

已知函式f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．

（1）*：f′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈時，f（x）≥ax，求a的取值範圍．

【回答】

（1）見解析；

（2）.

【分析】

（1）求導得到導函式後，設為進行再次求導，可判斷出當時，，當時，，從而得到單調*，由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置，*得結論；（2）建構函式，通過二次求導可判斷出，；分別在，，和的情況下根據導函式的符號判斷單調*，從而確定恆成立時的取值範圍.

【詳解】

（1）

令，則

當時，令，解得：

當時，；當時，

在上單調遞增；在上單調遞減

又，，

即當時，，此時無零點，即無零點

    ，使得

又在上單調遞減    為，即在上的唯一零點

綜上所述：在區間存在唯一零點

（2）若時，，即恆成立

令

則，

由（1）可知，在上單調遞增；在上單調遞減

且，，

，

①當時，，即在上恆成立

在上單調遞增

，即，此時恆成立

②當時，，，

，使得

在上單調遞增，在上單調遞減

又，

在上恆成立，即恆成立

③當時，，

，使得

在上單調遞減，在上單調遞增

時，，可知不恆成立

④當時，

在上單調遞減   

可知不恆成立

綜上所述：

【點睛】

本題考查利用導數討論函式零點個數、根據恆成立的不等式求解引數範圍的問題.對於此類端點值恰為恆成立不等式取等的值的問題，通常採用建構函式的方式，將問題轉變成函式最值與零之間的比較，進而通過導函式的正負來確定所建構函式的單調*，從而得到最值.

知識點：導數及其應用

題型：解答題