已知函式f（x）=lnx﹣，a∈R．（1）若x=2是函式f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）...

問題詳情：

已知函式f（x）=lnx﹣，a∈R．

（1）若x=2是函式f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若函式f（x）在（0，+∞）上為單調增函式，求a的取值範圍．

【回答】

【考點】6B：利用導數研究函式的單調*；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．

【分析】（1）求導數f′（x），由x=2為極值點得f′（2）=0，可求a，切線斜率，切點為（1，0），由點斜式可求切線方程；

（2）由f（x）在（0，+∞）上為單調增函式，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恆成立，分離出引數a後，轉化為求函式的最值，利用基本不等式可求最值；

【解答】解：（1）=．

由題意知f′（2）=0，代入得，經檢驗，符合題意．

從而切線斜率，切點為（1，0），

∴切線方程為x+8y﹣1=0；

（2）．

∵f（x）在（0，+∞）上為單調增函式，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恆成立，

∴2a﹣2≤2．∴a≤2．

∴a的取值範圍是（﹣∞，2]．

知識點：導數及其應用

題型：解答題