若函式f（x）對定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a﹣x）=2b，則函式f（x）的圖象關於點（a，b）對稱．...

問題詳情：

若函式f（x）對定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a﹣x）=2b，則函式f（x）的圖象關於點（a，b）對稱．

（1）已知函式f（x）=的圖象關於點（0，1）對稱，求實數m的值；

（2）已知函式g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關於點（0，1）對稱，且當x∈（0，+∞）時，g（x）=x2+ax+1，求函式g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；

（3）在（1）、（2）的條件下，若對實數x＜0及t＞0，恆有g（x）＜f（t）成立，求實數a的取值範圍．

【回答】

 解：（1）因為函式f（x）的圖象關於點（0，1）對稱，

∴f（x）+f（﹣x）=2，

即，

所以2m=2，

∴m=1．

（2）因為函式g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關於點（0，1）對稱，

則g（x）+g（﹣x）=2，

∴g（x）=2﹣g（﹣x），

∴當x＜0時，則﹣x＞0，

∴g（﹣x）=x2﹣ax+1，

∴g（x）=2﹣g（﹣x）=﹣x2+ax+1；

（3）由（1）知，，

∴f（t）min=3，

又當x＜0時，g（x）=﹣x2+ax+1

∴g（x）=﹣x2+ax+1＜3，

∴ax＜2+x2又x＜0，

∴，

∴．

知識點：函式的應用

題型：解答題