、如圖，在四稜錐中，底面為正方形，側稜底面，為稜的中點，．（Ⅰ）求*：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ...

問題詳情：

、如圖，在四稜錐中，底面為正方形，側稜底面，為稜的中點，．

（Ⅰ）求*：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的餘弦值．

【回答】

解：（Ⅰ）因為底面，底面，

所以，

正方形中，

又因為，

所以平面，

因為平面，

所以．                                 …………….4分

（Ⅱ）正方形中，側稜底面.

如圖建立空間直角座標系，不妨設.

依題意，則，

所以.

設平面的法向量，

因為，

所以.

令，得，即，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為；   ………………11分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以為平面的法向量，

因為， 且二面角為銳角，

所以二面角的餘弦值為．          

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題