如圖，三稜柱中，側稜底面，，，是稜的中點.（Ⅰ）*：平面平面；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的餘弦值.

問題詳情：

如圖，三稜柱中，側稜底面，，，是稜的中點.

（Ⅰ）*：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的餘弦值.

【回答】

（1）詳見解析；（2）

【解析】

(1)首先由題意*得平面.然後結合面面垂直的判斷定理即可*得平面平面；

(2)利用題意建立空間直角座標系，結合平面向量的法向量可得平面與平面所成二面角的餘弦值為.

試題解析：

（Ⅰ）因為側稜底面，

所以，

又因為，，

所以平面，

因為平面，

所以，

設，由，，是稜的中點.

所以，，

則，

所以，

因，

所以平面.

又因為平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）如圖所示，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角座標系，

不妨設，則，，，.

顯然是平面一個法向量，

設平面的法向量，

由

令，得平面的一個法向量，

所以，

即平面與平面所成二面角的餘弦值為.

點睛：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據向量座標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題