設函式（為自然對數的底數），，.（1）若是的極值點，且直線分別與函式和的圖象交於，求兩點間的最短距離；    ...

問題詳情：

設函式（為自然對數的底數），， .

（1）若是的極值點，且直線分別與函式和的圖象交於，求兩點間的最短距離；                

（2）若時，函式的圖象恆在的圖象上方，求實數的取值範圍.

【回答】

（1）1（2） 

【解析】試題分析：

(1)結合題意可得|PQ|=et+sint−2t.令h(x)=ex+sinx−2x，結合函式的*質可得兩點間的最短距離是1；

(2)建構函式，結合題意可得實數的取值範圍是.

試題解析：

 (1)因為F(x)=ex+sinx−ax,所以F′(x)=ex+cosx−a，

因為x=0是F(x)的極值點,所以F′(0)=1+1−a=0，a=2.

又當a=2時,若x<0,F′(x)=ex+cosx−a<1+1−2=0，

所以F′(x)在(0,+∞)上為增函式,所以F′(x)>F′(0)=1+1−2=0,所以x=0是F(x)的極小值點，

所以a=2符合題意,所以|PQ|=et+sint−2t.令h(x)=ex+sinx−2x,即h′(x)=ex+cosx−2，

因為h′′(x)=ex−sinx,當x>0時,ex>1，−1⩽sinx⩽1，

所以h′′(x)=ex−sinx>0,所以h′(x)=ex+cosx−2在(0,+∞)上遞增，

所以h′(x)=ex+cosx−2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)時,h(x)的最小值為h(0)=1,所以|PQ|min=1.

(2)令，

則，

，

因為當時恆成立，

所以函式在上單調遞增，∴當時恆成立；

故函式在上單調遞增，所以在時恆成立.

當時， ， 在單調遞增，即.

故時恆成立.

當時，因為在單調遞增，所以總存在，使在區間上，導致在區間上單調遞減，而，所以當時， ，這與對恆成立矛盾，所以不符合題意，故符合條件的的取值範圍是.

知識點：基本初等函式I

題型：解答題