設函式.若曲線在點處的切線方程為（為自然對數的底數）.（1）求函式的單調區間；（2）若關於的不等式在上恆成立，...

問題詳情：

設函式.若曲線在點處的切線方程為

（為自然對數的底數）.

（1）求函式的單調區間；

（2）若關於的不等式在上恆成立，求實數的取值範圍.

【回答】

（1）函式定義域為.得，

，即所以.所以， .

函式的單調遞減區間是，單調遞增區間是.…………6分

（2）由題得函式對任意恆成立，

即不等式對任意恆成立.

又，當即恆成立時，

函式遞減，設，則，所以，即，符合題意；……………………8分

當時， 恆成立，此時函式單調遞增.於是不等式對任意恆成立，不符合題意；………………10分

當時，設，

則 ；…………………12分

當時， ，此時單調遞增，

 ，

故當時，函式遞增.於是當時, 成立，不符合題意；………………13分

綜上所述，實數的取值範圍為： .

知識點：導數及其應用

題型：解答題