已知是自然對數的底數，函式與的定義域都是.（1）求函式在點處的切線方程；（2）判斷函式零點個數;（3）用表示的...

問題詳情：

已知是自然對數的底數，函式與的定義域都是.

（1）求函式在點處的切線方程；

（2）判斷函式零點個數;

（3）用表示的最小值，設，，若函式在上為增函式，求實數的取值範圍．

【回答】

【詳解】

（1）∵，∴切線的斜率，.

∴函式在點處的切線方程為.……………………3分

（2）∵，，∴，，，……………………5分

∴存在零點，且.∵，

∴當時，；當時，由得

.∴在上是減函式.

∴若，，，則.∴函式只有一個零點，且.……………………8分

（3），故，……………9分

∵函式只有一個零點，∴，即.∴.

∴在為增函式在，恆成立. ………………10分

當時，即在區間上恆成立.

設，只需，

，在單調遞減，在單調遞增.

的最小值，.

當時，，由上述得，則在恆成立. ……………………12分

綜上述，實數的取值範圍是.

知識點：導數及其應用

題型：解答題