已知函式（其中為自然對數的底數）.（1）若,求函式在區間上的最大值；（2）若,關於的方程有且僅有一個根,求實數...

問題詳情：

已知函式（其中為自然對數的底數）.

（1）若,求函式在區間上的最大值；

（2）若,關於的方程有且僅有一個根, 求實數的取值範圍；

（3）若對任意,不等式均成立, 求實數的取值範圍.

【回答】

試題解析：（1）當時,, 故在上單調遞減,上單調遞增, 當時,, 當時,, 故在區間上．

（2）當時, 關於的方程為有且僅有一個實根, 則有且僅有一個實根, 設,則,

因此在和上單調遞減, 在上單調遞增,, 如圖所示, 實數的取值範圍是．

（3）不妨設,則恆成立．

因此恆成立, 即恆成立,

且恆成立, 因此和均在上單調遞增,

設,

則在上上恆成立, 因此在上恆成立因此,而在上單調遞減, 因此時,．由在上恆成立, 因此在上恆成立, 因此,設,則．當時,, 因此在內單調遞減, 在內單調遞增,因此．綜上述,．

考點：利用導數求閉區間上函式的最值；根的存在*及根的個數判斷；利用導數研究函式的單調*

知識點：基本初等函式I

題型：解答題