已知實數,函式,.(1)討論函式的單調*;(2)若是函式的極值點,曲線在點,處的切線分別為,且在軸上的截距分別...
問題詳情:
已知實數,函式,.
(1)討論函式的單調*;
(2)若是函式的極值點,曲線在點,處的切線分別為,且在軸上的截距分別為.若,求的取值範圍.
【回答】
(1)當時,在上單調遞減;當時,在上單調遞減,在上單調遞增;(2).
【分析】
(1)求導後得;分別在和兩種情況下,根據的符號可確定的單調*;
(2)由極值點定義可構造方程求得,得到和;根據導數的幾何意義可求得在處的切線方程,進而求得;由可求得的關係,同時確定的取值範圍;將化為,令,,利用導數可求得的單調*,進而求得的值域即為的範圍.
【詳解】
(1).
,,.
①當,即時,,在上單調遞減;
②當,即時,
當時,;當時,,
在上單調遞減,在上單調遞增.
綜上所述:當時,在上單調遞減;當時,在上單調遞減,在上單調遞增.
(2)是的極值點,,即,
解得:或(舍),此時,.
方程為:,
令,得:;同理可得:.
,,整理得:,,
又,則,解得:,
.
令,則,
設,,
在上單調遞增,又,,,
即的取值範圍為.
【點睛】
本題考查導數在研究函式中的應用,涉及到利用導數討論含引數函式的單調*、極值點的定義、導數的幾何意義、利用導數求解引數的取值範圍等問題;關鍵是能夠通過建構函式的方式將所求式子的範圍轉化為函式值域的求解問題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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