如圖，四稜錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直於底，,，是的中點。（1）*：直線平面；（...

問題詳情：

如圖，四稜錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為2

的等邊三角形且垂直於底，,

，是的中點。

（1）*：直線平面；

（2）點在稜上，且直線與底面

所成角為，求二面角的餘弦值。

【回答】

【解析】試題分析：（1） 取的中點，連結， ，由題意*得∥，利用線面平行的判斷定理即可*得結論；（2）建立空間直角座標系，求得半平面的法向量： ， ，然後利用空間向量的相關結論可求得二面角的餘弦值為．

試題解析：（1）取中點，連結， ．

因為為的中點，所以, ,由得，又

所以．四邊形為平行四邊形， ．

又， ，故

（2）

由已知得,以A為座標原點， 的方向為x軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角座標系A-xyz,則

則， ， ， ，

,則

因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，所以

，

即（x-1）²+y²-z²=0

又M在稜PC上，設

由①，②得

所以M，從而

設是平面ABM的法向量，則

所以可取m=（0，-，2）.於是

因此二面角M-AB-D的餘弦值為

點睛:（1）求解本題要注意兩點：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進行向量運算，要認真細心、準確計算．

（2）設m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與<m，n>互補或相等，故有|cos θ|＝|cos<m，n>|=．求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題