如圖,四稜錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為稜上的動點,且.(I)求*：為直角三角...

問題詳情：

 如圖,四稜錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形, 為稜上的動點,且.

(I)求*：為直角三角形；

(II)試確定的值，使得二面角的平面角餘弦值為.

【回答】

【解析】(I)取中點,連結，依題意可知均為正三角形，所以,

又平面平面，

所以平面，

又平面，所以,

因為,所以，即,

從而為直角三角形.

說明:利用 平面*正確,同樣滿分!

(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,

平面，所以平面.

以為原點，建立空間直角座標系如圖所示,則

,

由可得點的座標

所以,

設平面的法向量為，則,

即解得，

令，得，

顯然平面的一個法向量為,

依題意，

解得或（捨去），

所以，當時，二面角的餘弦值為.

[傳統法]由(I)可知平面,所以,

所以為二面角的平面角，

即,

在中，,

所以

，

由正弦定理可得，即

解得，

又,所以,

所以，當時，二面角的餘弦值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題