如圖，在三稜錐中，側面是邊長為2的等邊三角形，，分別為，的中點，過的平面與側面交於.（1）求*：；（2）若平面...

問題詳情：

如圖，在三稜錐中，側面是邊長為2的等邊三角形，，分別為，的中點，過的平面與側面交於.

（1）求*：；

（2）若平面平面， ，求直線與平面所成角的正弦值.

【回答】

（1）*見解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由題意知，可得平面，在利用線面平行的*質定理即可*；

（2）取中點，分別以，，為，，軸建立空間直角座標系，求出平面的法向量和直線的方向向量，利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】

（1）因為，分別為，的中點，所以，

又平面，平面，所以平面，

因為平面平面，

所以.

（2）因為平面平面，取中點，

連線， ，因為是等邊三角形，所以，

所以平面，故，又因為，

所以，以為座標原點，分別以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角座標系，

可得，，，，，

所以，，，

設平面的法向量為，則，

令，得，，所以，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

【點睛】

本題主要考查了線面平行的*質定理，利用空間向量求線面角，屬於中檔題.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題