.如圖,四稜錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直於底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC...

問題詳情：

.如圖,四稜錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直於底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點.

(1)*:直線CE∥平面PAB;

(2)點M在稜PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的餘弦值.

【回答】

.(1)*取PA的中點F,連線EF,BF.

因為E是PD的中點,所以EF∥AD,EF=AD.

由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,

又BC=AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,

又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.

(2)解由已知得BA⊥AD,以A為座標原點,的方向為x軸正方向,||為單位長,建立如圖所示的空間直角座標系A-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).

設M(x,y,z)(0<x<1),則=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).

因為BM與底面ABCD所成的角為45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,

所以|cos<,n>|=sin45°,,

即(x-1)2+y2-z2=0.            ①

又M在稜PC上,設=,則

x=λ,y=1,z=       ②

由①②解得(捨去),所以M,從而

設m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則

即

所以可取m=(0,-,2).

於是cos<m,n>=

因此二面角M-AB-D的餘弦值為

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題