如圖，在四稜錐P﹣ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BA...

問題詳情：

如圖，在四稜錐P﹣ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中點，過A、D、N三點的平面交PC於M，E為AD的中點，求*：

（1）EN∥平面PDC；

（2）BC⊥平面PEB；

（3）平面PBC⊥平面ADMN．

【回答】

解：（1）∵AD∥BC，AD⊂平面ADMN，

BC⊄平面ADMN，       ∴BC∥平面ADMN，                          

∵平面ADMN∩平面PBC=MN，BC⊂平面PBC，

∴BC∥MN．∵N是PB的中點，∴MN= (1/2)BC。

又∵AD∥BC，∴AD∥MN．∴ED∥MN，

∵N是PB的中點，E為AD的中點，底面ABCD是邊長為2的菱形，

∴ED=MN=1，∴四邊形ADMN是平行四邊形．

∴EN∥DM，DM⊂平面PDC，∴EN∥平面PDC。…………4分

（2）∵側面PAD是正三角形，AB=2， E為AD的中點，∴PE⊥AD，AE=1。

∵∠BAD=60°，底面ABCD是邊長為2的菱形，∴正三角形ABD是正三角形，，

∴BE⊥AD，又∵AD∥BC，∴BE⊥BC。

∵BE∩PE=E，BE，PE ⊂平面PEB，∴BC⊥平面PEB；………9分

（3）∵由（2）知BC⊥平面PEB，∴BC⊥PB，又∵AD∥BC，∴PB⊥AD；

∵AP=AB=2，N是PB的中點，∴PB⊥AN，

∵AD∩AN= A，AD，AN⊂平面ADMN，∴PB⊥平面ADMN，            

又∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題