已知函式．（1）若，*：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.

問題詳情：

已知函式．

（1）若，*：當時，；

（2）若在只有一個零點，求的值.

【回答】

（1）見解析；（2）

【詳解】

分析：(1)先建構函式，再求導函式，根據導函式不大於零得函式單調遞減，最後根據單調**得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數：，這裡產生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減後增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分*，即得a的值.

詳解：（1）當時，等價於．

設函式，則．

當時，，所以在單調遞減．

而，故當時，，即．

（2）設函式．

在只有一個零點若且唯若在只有一個零點．

（i）當時，，沒有零點；

（ii）當時，．

當時，；當時，．

所以在單調遞減，在單調遞增．

故是在的最小值．

①若，即，在沒有零點；

②若，即，在只有一個零點；

③若，即，由於，所以在有一個零點，

由（1）知，當時，，所以．

故在有一個零點，因此在有兩個零點．

綜上，在只有一個零點時，．

點睛：利用函式零點的情況求引數值或取值範圍的方法

(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.

(2)分離引數後轉化為函式的值域(最值)問題求解.

(3)轉化為兩熟悉的函式圖象的上、下關係問題，從而構建不等式求解.

知識點：基本初等函式I

題型：解答題