已知函式在處取得極值.（1）求函式的單調區間；（2）若函式在上恰有兩個不同的零點，求實數的取值範圍.

問題詳情：

已知函式在處取得極值.

（1）求函式的單調區間；

（2）若函式在上恰有兩個不同的零點，求實數的取值範圍.

【回答】

（1）f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在處取得極值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．經檢驗a=1適合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）遞減；

當x∈（-1+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）遞增．     

（2）函式y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有兩個不同的零點，

等價於xex+x2+2x-m=0在[-2，2]上恰有兩個不同的實根，

等價於xex+x2+2x=m在[-2，2]上恰有兩個不同的實根． 

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），           

由（1）知g（x）在（-∞，-1）遞減；  在（-1，+∞）遞增．

g（x）在[-2，2]上的極小值也是最小值； ． 又，g（2）=8+2e2＞g（-2）， ∴，即．

知識點：導數及其應用

題型：解答題