已知函式  （1）試判斷的單調*；  （2）若在區間上有極值，求實數的取值範圍；（3）當時，若有唯一的零點，試...

問題詳情：

已知函式

   （1）試判斷的單調*；

   （2）若在區間上有極值，求實數的取值範圍；

（3）當時，若有唯一的零點，試求的值.（注：為取整函式，表示不超過的最大整數，如；以下資料供參考：）

【回答】

解：（Ⅰ），

①當時，，∴函式在區間上單調遞減；

②當時，由，解得

當時，，此時函式g（x）單調遞減；當時，，此時函式單調遞增．　　       ……………

（Ⅱ），其定義域為．

，　　　     ………………

令，，

當時，恆成立，∴在上為增函式，

又，

∴函式在內至少存在一個變號零點，且也是的變號零點，此時在區間內有極值．　                  ……………

當時，，即時，恆成立，

∴函式在單調遞減，此時函式無極值 ………………                     　                                  

綜上可得：在區間內有極值時實數的取值範圍是 ……

（Ⅲ）∵時，函式的定義域為

由（Ⅱ）可知：知時，，∴．

又在區間上只有一個極小值點記為，

且時，，函式單調遞減，時，，函式單調遞增，                      

由題意可知：即為．　                 ………………………

∴，∴消去可得：，

即

令，則在區間上單調遞增

又∵

由零點存在*定理知   

∴                  ∴ ．　　  ……………

知識點：導數及其應用

題型：解答題