已知函式，．（1）當時，求函式的最小值；（2）若，*：函式有且只有一個零點；（3）若函式有兩個零點，求實數a...

問題詳情：

已知函式，．

（1）當時，求函式的最小值；

（2）若，*：函式有且只有一個零點；

（3）若函式有兩個零點，求實數a的取值範圍．

【回答】

（1）當時，．

所以，（x>0）．   

令，得，

當時，；當時，，

所以函式在上單調遞減，在上單調遞增．

所以當時，有最小值．

（2）由，得．

所以當時，，

函式在上單調遞減，

所以當時，函式在上最多有一個零點．

因為當時，，，

所以當時，函式在上有零點．

綜上，當時，函式有且只有一個零點．  

（3）解法一：

由（2）知，當時，函式在上最多有一個零點．

因為函式有兩個零點，所以．   

由，得，令．

因為，，

所以函式在上只有一個零點，設為．

當時，；當時，．

所以函式在上單調遞減；在上單調遞增．

要使得函式在上有兩個零點，

只需要函式的極小值，即．

又因為，所以，

又因為函式在上是增函式，且，

所以，得．

又由，得，

所以．  

以下驗*當時，函式有兩個零點．

當時，，

所以．

因為，且．

所以函式在上有一個零點．

又因為（因為），且．

所以函式在上有一個零點．

所以當時，函式在內有兩個零點．

綜上，實數a的取值範圍為．

下面*：．

          設，所以，（x>0）．

令，得．

當時，；當時，．

所以函式在上單調遞減，在上單調遞增．

所以當時，有最小值．

所以，得成立．

    解法二：

由（2）知，當時，函式在上最多有一個零點．

因為函式有兩個零點，所以．

由，得關於x的方程，（x>0）有兩個不等

的實數解．

又因為，

所以，（x>0）．

因為x>0時，，所以．

又當時，，即關於x的方程有且只有一個實數解．

所以．  

知識點：不等式

題型：解答題