已知函式，（，）．（1）當時，①若函式與在處的切線均為，求的值；②若曲線與有且僅有一個公共點，求的取值範圍；（...

問題詳情：

已知函式，（，）．

（1）當時，

① 若函式與在處的切線均為，求的值；

② 若曲線與有且僅有一個公共點，求的取值範圍；

（2）當時，設，若函式存在兩個不同的零點

求*：． 

【回答】

解：（1）當時，，所以，．

    ① 由題意，切線的斜率，即，所以．   …… 2分

② 設函式，．

“曲線與有且僅有一個公共點”等價於“函式有且僅有

一個零點”．

     求導，得．

（ⅰ）當時，由，得，所以函式在單調遞減．

     因為，所以函式有且僅有一個零點1，符合題意．  …… 5分

（ⅱ）當時，，

當變化時，與的變化情況列表如下：

所以函式在上單調遞增，在上單調遞減，

所以當時，．

注意到，且，

若，則，所以函式有且僅有一個零點1，符合題意．

若，取 ，，

所以函式存在兩個零點，一個為1，另一個在，與題意不符．

若，取，

由於，

所以函式存在兩個零點，一個為1，另一個在，與題意不符．

綜上，曲線與有且僅有一個公共點時，的取值範圍是

或．                                              …… 9分

（2）當時，．

因為，所以，

即．

令，則，

當時，，當時，，

所以在上遞增，在上遞減，

所以在處有極大值，所以．

令，，                       …… 12分

則，

所以在上單調遞增，從而，

所以，

而在上遞減，且，

所以，即．                           …… 16分

知識點：基本初等函式I

題型：解答題