已知函式.(1)求函式的單調區間;(2)當時,函式在上的最小值為,若不等式有解,求實數的取值範圍.
問題詳情:
已知函式.
(1)求函式的單調區間;
(2)當時,函式在上的最小值為,若不等式有解,求實數的取值範圍.
【回答】
(1)*見解析;(2)
【解析】
(1)求出導函式,然後根據的符號進行分類討論,並藉助解不等式組的方法得到單調區間;(2)根據(1)中的結論求出當時,函式在上的最小值,因此問題轉化為有解,即有解,建構函式,求出函式的最小值即可得到所求.
【詳解】(1)由,
得,
①當時,
令,得,
所以,或,即或,
解得或.
令,得,
所以或,即或,
解得或.
所以函式的單調遞增區間為,;單調遞減區間為.
②當時,
令,得,由①可知;
令,得,由①可知或.
所以函式的單調遞增區間為;單調遞減區間為,.
綜上可得,
當時,的單調遞增區間為,;單調遞減區間為.
當時,的單調遞增區間為;單調遞減區間為,.
(2)由(1)可知若,則當時,函式在上單調遞減,在上單調遞增,
所以,
所以不等式有解等價於有解,
即有解,
設,則,
所以當時,,單調遞減,
當時,,單調遞增,
所以的極小值也是最小值,且最小值為,
從而,
所以實數的取值範圍為.
【點睛】(1)求函式的單調區間時,若函式解析式中含有字母、並且字母對結果產生影響時,需要對字母進行分類討論,討論時要選擇合適的標準,同時分類時要做到不重不漏.
(2)解答不等式有解的問題時,常用的方法是分離引數後轉化為求函式的最值的問題,解題時要用到以下結論:在上有解;在上有解.若函式的最值不存在,則可利用函式值域的端點值來代替.
知識點:不等式
題型:解答題
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