設函式.（1）若a＝0時，求函式的單調遞增區間；（2）若函式在x＝1時取極大值，求實數a的取值範圍；（3）設函...

問題詳情：

設函式.

（1）若a＝0時，求函式的單調遞增區間；

（2）若函式在x＝1時取極大值，求實數a的取值範圍；

（3）設函式的零點個數為m，試求m的最大值.

【回答】

（1）單調增區間為(1，+¥)（2）（3）2

【分析】

（1）求導得到函式的單調增區間.

（2）求導，討論，，或，幾種情況，分別計算函式極值得到*.

（3）考慮，兩種情況，求導得到單調區間，計算極值判斷零點個數，得到*.

【詳解】

（1）當a＝0時，，所以，由得x＝1，

當xÎ(0，1)時，＜0；當xÎ(1，+¥)時，＞0，

所以函式的單調增區間為(1，+¥).

（2）由題意得，

令(x＞0)，則，

當≥0即時，＞0恆成立，

故在(0，1)上遞減，在(1，+¥)上遞增，所以x＝1是函式的極小值點，不滿足；

當即時，此時＞0恆成立，

在(0，1)上遞減，在(1，+¥)上遞增，所以x＝1是函式的極小值點，不滿足；

當即或時，

在(0，1)上遞減，在(1，+¥)上遞增，所以x＝1是函式的極小值點，不滿足；

當時，解得或（舍），

當時，設的兩個零點為，，所以＝1，不妨設0＜＜，

又，所以0＜＜1＜，故，

當xÎ(0，)時，＜0；當xÎ(，1)時，＞0；當xÎ(1，)時，＜0；當xÎ(，+¥)時，＞0；

∴在(0，)上遞減，在(，1)上遞增，在(1，)上遞減，在(，+¥)上遞增；

所以x＝1是函式極大值點，滿足.

綜上所述：.

（3）①由（2）知當時，函式在(0，1)上單調遞減，在(1，+¥)上單調遞增，故函式至多有兩個零點，欲使有兩個零點，需，得，

；

，，

故滿足函式有2個零點.

②當時，由（2）知在(0，)上遞減，在(，1)上遞增，在(1，)上遞減，在(，+¥)上遞增；

而0＜＜1，所以，

此時函式也至多有兩個零點

綜上①②所述，函式的零點個數m的最大值為2.

【點睛】

本題考查了函式的單調區間，根據極值求引數，零點個數問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

知識點：導數及其應用

題型：解答題