已知函式,.(1)若在區間上不是單調函式,求實數的範圍;(2)若對任意,都有恆成立,求實數的取值範圍;(3)當...
問題詳情:
已知函式,.
(1)若在區間上不是單調函式,求實數的範圍;
(2)若對任意,都有恆成立,求實數的取值範圍;
(3)當時,設,對任意給定的正實數,曲線上是否存在兩點,,使得是以(為座標原點)為直角頂點的直角三角形,而且此三角形斜邊中點在軸上?請說明理由.
【回答】
試題解析:解:(1)由
得,因在區間上不上單調函式
所以在上最大值大於0,最小值小於0
,
由,得
,且等號不能同時取,,即
恆成立,即
令,求導得
當時,,從而
在上是增函式,
由條件,
假設曲線上存在兩點滿足題意,則只能在軸兩側
不妨設,則,且
是以為直角頂點的直角三角形,
是否存在等價於方程在且是否有解
①當時,方程為,化簡,此方程無解;
②當時,方程為,即
設,則
顯然,當時,,即在上為增函式
的值域為,即,當時,方程總有解
對任意給定的正實數,曲線上是否存在兩點,使得是以(為座標原點)為直角頂點的直角三角形,而且此三角形斜邊中點在軸上
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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