已知函式.（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函式的極值.

問題詳情：

已知函式.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函式的極值.

【回答】

解：函式f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)當a＝2時，f(x)＝x－2ln x，

f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①當a≤0時，f′(x)>0，函式f(x)為(0，＋∞)上的增函式，函式f(x)無極值；

②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a，

又當x∈(0，a)時，f′(x)<0；

當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，

從而函式f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值．

綜上，當a≤0時，函式f(x)無極值；

當a>0時，函式f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值．

知識點：基本初等函式I

題型：解答題