已知函式，.（1）若曲線在點處的切線方程為，求a的值；（2）若為函式的極值點，且，求*：.

問題詳情：

已知函式，.

（1）若曲線在點處的切線方程為，求a的值；

（2）若為函式的極值點，且，求*：.

【回答】

（1）（2）*見解析；

【解析】

(1)先對函式求導得到,再分別求,,寫出曲線在點處的切線方程,根據題意列出方程組,解方程組即可求得a的值；

(2)需要多次建構函式,利用函式的單調*、極值等解決問題.

【詳解】

解：（1）由題意得的定義域為,,

則,

又,

所以曲線在點處的切線方程為,

即,

所以,解得.

（2）由（1）得,顯然.

令,,

當時,,在上單調遞增,無極值,不符合題意；

當時,,所以在上單調遞增.

取b滿足,則,

所以.

又,所以存在,使得,此時.

又當時,,,單調遞減,

當時,,,單調遞增,

所以為函式的極小值點,且,則,所以在上單調遞減.又,,所以.

令.

所以當時,單調遞增,所以,所以,

所以.

【點睛】

本題主要考查導數的幾何意義、函式的極值點、不等式的*等,考查考生利用導數的有關知識分析問題、解決問題的能力,推理論*能力和化歸與轉化能力.

本題以含參函式為依託,運用導數運演算法則,選擇合適的方法,經過推理、運算解決問題,體現數學抽象、數學運算等核心素養. 本題第（2）問的求解過程需要考生有清晰的解題思路,對考生的能力要求較高,試題的區分度較大.

知識點：導數及其應用

題型：解答題