已知函式．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函式在上是減函式，求實數的取值範圍；（3）令，是否存在實數...

問題詳情：

已知函式．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函式在 上是減函式，求實數的取值範圍；

（3）令，是否存在實數，當（是自然對數的底數）時，函式的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

【回答】

1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）欲求在點處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函式值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決． （2）先對函式進行求導，根據函式在[1，2]上是減函式可得到其導函式在[1，2]上小於等於0應該恆成立，再結合二次函式的*質可求得的範圍． （3）先假設存在，然後對函式進行求導，再對的值分情況討論函式在（0，e]上的單調*和最小值取得，可知當=e2能夠保*當時有最小值3．

試題解析：

(1)當時，

所以，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2）因為函式在上是減函式，

所以在[1,3]上恆成立.

令,有，得

故.

（3）假設存在實數a，使有最小值3，

 ①時，，所以在上單調遞減，

，  （捨去）

②當時，在上恆成立， 所以在上單調遞減，（捨去）

③當時，令，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增

 所以，，滿足條件

綜上，存在實數，使得時，有最小值3．

點睛：導數是研究函式的單調*、極值(最值)最有效的工具，而函式是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆大學聯考中，對導數的應用的考查都非常突出．導數專題在大學聯考中的命題方向及命題角度：從大學聯考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯絡；（2）利用導數求函式的單調區間，判斷單調*；已知單調*求引數；（3）利用導數求函式的最值(極值)，解決生活中的優化問題；（4）考查數形結合思想的應用．

知識點：導數及其應用

題型：解答題