.如圖所示，三稜錐中，平面平面，是邊長為4,的正三角形，是頂角的等腰三角形，點為上的一動點．（1）當時，求*：...

問題詳情：

.如圖所示，三稜錐中，平面平面，是邊長為4,的正三角形，是頂角的等腰三角形，點為上的一動點．

（1）當時，求*：；

（2）當直線與平面所成角為時，求二面角的餘弦值.

【回答】

（1）*；取中點為，連線，，

由為正三角形知，

在中，可得，

中，由余弦定理可得，

從而，即，

所以平面，

於是，即； 

（2）由（1）知平面，則與平面的夾角為，

在直角中，可得，則點為線段的中點，

以點為座標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角座標系（由（1）知點為靠近的三等分點）,

則點，

從而，，，

於是，

設平面的一個法向量為，

則，即，不妨取，得，

又平面的一個法向量為，

從而，

故二面角的餘弦值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題