.在三稜臺中,是等邊三角形,二面角的平面角為,.(I)求*:;(II)求直線與平面所成角的正弦值.
問題詳情:
.在三稜臺中,是等邊三角形,二面角的平面角為,.
(I)求*:;
(II)求直線與平面所成角的正弦值.
【回答】
【詳解】(I)*:設,與交於點,取稜的中點,連結.
因,,
故.
又是稜的中點,
故.
同理
又平面,且,
因此平面,
又平面,
所以;
(II)方法一:
作,垂足為.
因平面,
故平面,
從而為直線與平面所成的角.
不妨設,則,,
所以.
方法二:如圖,以為原點建立空間直角座標系,
由(I),為二面角的平面角,則,
設,,則點 , , ,.
設為平面,即平面的一個法向量,
由 ,得,
令,則,即.
設是直線與平面所成的角,
則.
【點睛】本題第一問主要考查由線面垂直推面面垂直,需要用到線面垂直的判定定理;第二問求線面角的正弦值,通常有兩種做法:立體幾何法(即在幾何體中直接作出直線與平面所成的角,求解即可)和空間向量的方法(即建立適當座標系求出直線的方向向量和平面的法向量,由向量的夾角確定線面角即可);屬於常考題型.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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