如圖，三稜錐的側面是等腰直角三角形，，，，且．（1）求*：平面平面；（2）求二面角的餘弦值．

問題詳情：

如圖，三稜錐的側面是等腰直角三角形，，，

，且．

（1）求*：平面平面；

（2）求二面角的餘弦值．

【回答】

解：（1）*：如圖，取BD中點E，連結、，················ 1分

因為是等腰直角三角形，

所以，··························· 2分

設，則，···················· 3分

在中，由余弦定理得：

，············ 4分

因為，，

所以，即，·················· 5分

又，，

所以平面，

所以平面平面；···················· 6分

（2）解法一：過點E在平面內作交於點F，由（I）知平面，

分別以為x軸，y軸，z軸建立如圖空間直角座標系，····· 7分

不妨設，

則：，············· 8分

則，，，·········· 9分

設平面的法向量，

則，取，··········· 10分

設平面的法向量，

則，取，········ 11分

所以，

因為二面角的平面角是銳角，

所以二面角的餘弦值為.······························· 12分

解法二：過點D作DN⊥AC於點N，

設D在平面ABC上的*影為M，連線MN，

則AC⊥MN，所以∠DNM為所求二面角的平面角，·············································· 7分

設AB=1,則AD=1,BD=CD=，AC=2，BC=,

在△ADC中，cos∠DAC=,

所以DN=,································ 8分

在△ABC中，cos∠BAC=,所以sin∠BAC=,········································· 9分

由,

所以,

即,························································ 11分

在△DMN中，sin∠DNM=,

所以cos∠DNM=,

所以二面角的餘弦值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題