如圖所示，在直三稜柱中，，D為AC的中點．(Ⅰ)求*：(Ⅱ)若，求*：；(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下， 求二面角B-...

問題詳情：

如圖所示，在直三稜柱中，，D為AC的中點．

(Ⅰ)求*：

(Ⅱ)若，求*：；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，  求二面角B-A1C1-D的大小．

【回答】

解：(Ⅰ) 連結AB1交A1B於E，連ED．

∵ABC-A1B1C1是直三稜柱中，且AB=BBl，

∴側面ABB1A1是一正方形． 

∵E是AB1的中點．又已知D為AC的中點．

∴在△AB1C中，ED是中位線．

∴B1C//ED．

∴B1C∥平面A1BD．

(Ⅱ)  ∵ AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B．

又∵側面ABB1A1是一正方形，∴A1B⊥AB1．

∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．

又∵ABC-A1B1C1是直三稜柱，∴BB1⊥B1C1．

∴BlCl⊥平面ABB1A1     

(Ⅲ)  ∵AB=BC，D為AC的中點，

∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC1A1．

∴BD就是三稜錐B-A1C1D的高．

由(Ⅱ)知   BlCl⊥平面ABBlAl，∴BC⊥平面ABBlAl．

∴BC⊥AB．以BA、BC、BB1分別為軸、軸、軸建立空間直角座標系.

不妨設 AB=BC=BB1=1，則顯然B、D、A1、C1各點的座標分別是

B（0，0，0），D(,,0) ， A1（1，0，1），C1（0，1，1）.

∴(1，0，1)， =（0，1，1），(，，0).

顯然，就是平面A1C1D的法向量.

設平面BA1C1 的法向量為，則，

∴・（1，0，1）=0，・（0，1，1）=0

∴. 令，則=（1，1，-1）

設與 所成的角為，則.

由圖形可知二面角B-A1C1-D的平面角為銳角，

∴二面角B-A1C1-D的大小為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：計算題