如圖,在長方體中,點線上段上.(Ⅰ)求異面直線與所成的角;(Ⅱ)若二面角的大小為,求點到平面的距離.
問題詳情:
如圖,在長方體中,點線上段上.
(Ⅰ)求異面直線與所成的角;
(Ⅱ)若二面角的大小為,求點到平面的距離.
【回答】
解析:本題涉及立體幾何線面關係的有關知識, 本題實質上求角度和距離,在求此類問題中,要將這些量歸結到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利於問題的解決,此外用向量也是一種比較好的方法.
*:解法一:(Ⅰ)連結。由已知,是正方形,有。
∵平面,∴是在平面內的*影。
根據三垂線定理,得,則異面直線與所成的角為。
作,垂足為,連結,則
所以為二面角的平面角,.
於是
易得,所以,又,所以。
設點到平面的距離為.
∵即,
∴,即,∴.
故點到平面的距離為。
解法二:分別以為軸、軸、軸,建立空間直角座標系.
(Ⅰ)由,得
設,又,則。
∵∴
則異面直線與所成的角為。
(Ⅱ)為面的法向量,設為面的法向量,則
∴. ①
由,得,則,即
∴ ②
由①、②,可取
又,所以點到平面的距離
。
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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