如圖,在直三稜柱中,是的中點.(1)求*:平面;(2)若是正三角形,且,求直線與平面所成角的正弦值。
問題詳情:
如圖,在直三稜柱中,是的中點.
(1)求*:平面;
(2)若是正三角形,且,求直線與平面所成角的正弦值。
【回答】
試題解析:(1)連線,設與的交點為,則為的中點,連線,又是的中點,所以.又平面,平面,所以平面.
(2)是的中點,是正三角形,則,,,
設,則,以為軸,為軸,為軸建立空間直角座標系.
則,,,,,, .
設是平面的法向量,則,可取平面的法向量為,則
,所以直線與平面所成角的正弦值為.
【點睛】空間向量在立體幾何中的應用
(1)兩條異面直線所成角的求法:設兩條異面直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為θ,則cos φ=|cos θ|= (其中φ為異面直線a,b所成的角).
(2)直線和平面所成的角的求法:如圖所示,設直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sin φ=|cos θ|=.
(3)求二面角的大小:①如圖①,AB,CD是二面角α-l-β的兩個面內與稜l垂直的直線,則二面角的大小θ=
②如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ=〈n1,n2〉(或π-〈n1,n2〉).
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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