如圖，在四稜錐中，為稜的中點，異面直線與所成的角為.  （1）在平面內找一點，使得直線平面，並說明理由；  （...

問題詳情：

如圖，在四稜錐中，為稜的中點，異面直線與所成的角為.

   （1）在平面內找一點，使得直線平面，並說明理由；

   （2）若二面角的大小為，求二面角的餘弦值.

【回答】

解：（I）延長交直線於點，      

∵點為的中點，∴，

∵，∴，

∵∥，即∥．∴四邊形為平行四邊形，即∥．

∵，∴，∴∥，

∵平面，∴∥平面，       ………

∵，平面，∴平面，故在平面內可以找到一點，使得直線∥平面  …………………… 　               　　

（II）法一、

如圖所示，∵，異面直線與所成的角為，即⊥    又，

∴⊥平面．

又即⊥

∴⊥平面 

∴⊥．

因此是二面角的平面角，其大小為．

∴．                                   …………………

建立如圖所示的空間直角座標系，不妨設，則．

∴，，，

∴，，，

易知平面的法向量為

設平面的法向量為，則，可得：．

令，則，∴．   ………………………

設二面角的平面角為，

則=． 

  ∴ 二面角的餘弦值為．            ……………

法二、同法一可得⊥平面，

過點作交的延長線於，連線

∵⊥平面  平面

∴ 又，∴平面

∴∴即為二面角的平面角．…………

在中    

∴     ∴

∴ 二面角的餘弦值為．             ……………

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題