已知關於x的方程(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0．（1）求*：無論k取任何實數時，方程總有實數根；（2）...

問題詳情：

已知關於x的方程(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0．

（1）求*：無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）當拋物線y＝(k-1)x2+（2k-1）x+2圖象與x軸兩個交點的橫座標均為整數，且k為正整數時，若P（a，y1），Q（1，y2）是此拋物線上的兩點，且y1＞y2，請結合函式圖象確定實數a的取值範圍．

（3）已知拋物線y＝(k-1)x2+（2k-1）x+2恆過定點，求出定點座標

【回答】

（1）*見解析；（2）a＞1或a＜﹣4；（3）（0，2）、（﹣2，0）．

【分析】

（1）分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當該方程為一元二次方程時，根的判別式△≥0，方程總有實數根；

（2）通過解(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0得到k＝2，由此得到該拋物線解析式為y＝x2+3x+2，結合圖象回答問題．

（3）根據題意得到(k-1)x2+（2k-1）x+2﹣y＝0恆成立，由此列出關於x、y的方程組，通過解方程組求得該定點座標．

【詳解】

（1）*：①當k＝1時，方程為x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有實數根，

②當k≠1時，

∵△＝（2k-1）2﹣4x(k-1)×2＝4k2-12k+9=(2k-3)2≥0，即△≥0，

∴無論k取任何實數時，方程總有實數根

（2）解：令y＝0，則(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0，

（x-2）

解關於x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝，

∵二次函式的圖象與x軸兩個交點的橫座標均為整數，且k為正整數，

∴1-k＝-1，k=2．

∴該拋物線解析式為y＝x2+3x+2，

由圖象得到：當y1＞y2時，a＞1或a＜﹣4．

（3）依題意得(k-1)x2+（2k-1）x+2﹣y＝0恆成立，

即k（x2+2x）-x2-x﹣y+2＝0恆成立，得：x2+2x=0；x1=0，y1=2；x2=-2，y2=0

所以該拋物線恆過定點（0，2）、（﹣2，0）．

【點睛】

本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關係及二次函式圖象上點的座標特徵，解答（1）題時要注意分類討論．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題