已知函式.（1）若函式在R上是增函式，求實數a的取值範圍；（2）求所有的實數a，使得對任意時，函式的圖象恆在函...

問題詳情：

已知函式.

（1）若函式在R上是增函式，求實數a的取值範圍；

（2）求所有的實數a，使得對任意時，函式的圖象恆在函式圖象的下方；

（3）若存在，使得關於x的方程有三個不相等的實數根，求實數t的取值範圍.

【回答】

（1）（2）（3）

【解析】

（1）將函式寫成分段函式的*質，根據分段函式在上是單調增函式，即可求得引數的範圍；

（2）根據題意，分離引數，將問題轉化求解函式在區間上最值的問題，即可求得；

（3）將方程根的個數的問題，轉化為函式影象交點個數的問題，求出函式的值域，結合函式的單調*即可求得.

【詳解】（1）∵函式.

由於在R上是連續的增函式，

所以只要當時為增函式且當時也為增函式；

即，解得，則a的範圍為.

（2）由題意得對任意的實數，恆成立，

即，當恆成立，

即，

∴，

∴，

故且在上恆成立，

即在時，只要的最大值且的最小值即可，

而當時，為增函式，；

當時，增函式，，

∴.

所以滿足條件的所有.

（3）由題意得，關於x的方程有三個不相等的實數根

有三個不相等的實數根；

即與有三個不同的交點；

①當時，由（1）知，在R上是增函式，

則關於x的方程不可能有三個不等的實數根；

②當時，由.

當時，∵，

∴對稱軸，

則在為增函式；

此時的值域為，

當時，對稱軸，

∵，∴，

∴對稱軸，

則在為增函式，此時的值域為，

在為減函式，此時的值域為；

綜上所述，若存在，使與有三個不同的交點，

則，

即存在，使得即可，

令，

只要使即可，而在上是增函式，

.

故可得.

【點睛】本題考查由分段函式在上的單調*求引數的範圍，以及由恆成立問題求引數的範圍，涉及由方程根的個數，求引數的範圍，屬綜合*中檔題.

知識點：*與函式的概念

題型：解答題