設函式，（1）當時，求函式圖象在處的切線方程；（2）求的單調區間；（3）若不等式對恆成立，求整數的最大值.

問題詳情：

設函式，

（1）當時，求函式圖象在處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）若不等式對恆成立，求整數的最大值.

【回答】

（1）；（2）單調遞增區間是，單調遞減區間是；（3）2

【分析】

（1）當時，可得，，求出，，即可求出切線方程；

（2）求出，求出極值點，利用導函式的符號，判斷函式的單調*即可；

（3）當時，不等式恆成立，即：恆成立，等價於當時，恆成立；即對恆成立，令，根據導數求其最值，即可求得*.

【詳解】

（1）當時，

可得，

，

可得：，

所求切線方程為

（2）

.

令，則.

當時，；

當時，；

的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（3）當時，不等式恆成立

即：恆成立，

等價於當時，恆成立；

即對恆成立.

令，，

，

令，，

，

在上單調遞增.

又，，

在上有唯一零點，且，

在上單調遞減，在上單調遞增，

，

，

故整數的最大值為.

【點睛】

本題主要考查了根據導數求函式單調區間和根據不等式恆成立求引數值，解題關鍵是掌握根據導數求函式單調區間的方法和建構函式求最值的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬於難題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題