如圖所示，在五稜錐中，側面底面，是邊長為2的正三角形，四邊形為正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.（Ⅰ）求...

問題詳情：

如圖所示，在五稜錐中，側面底面，是邊長為2的正三角形，四邊形為正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.

（Ⅰ）求*：平面；

（Ⅱ）求二面角的餘弦值.

【回答】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【分析】

（1）*線面平行，轉化為線線平行．取中點，中點，連線，即可．（2）求二面角的餘弦值，以為原點，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角座標系即可．

【詳解】

（Ⅰ）取中點，中點，連線，，易知，，，四點共線.

由，且，可知為等腰直角三角形，所以.

因為是正方形的中心，所以.

所以，所以.又是的重心，所以.

所以，故.又因為平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）解法一：因為為中點，是正三角形，所以.

因為側面底面，且交線為，所以底面.所以直線，，兩兩垂直.

如圖，以為原點，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角座標系.

則，，，.所以，，.

設平面的法向量為，

則令，則.

設平面的法向量為，

則，令，則.

所以.

結合圖可知，二面角的餘弦值為.

解法二：取，中點分別為，，連線，，則.

又側面底面，，側面底面，所以平面.

又平面，所以，所以.

又，，所以，所以.

所以為二面角的平面角.

易知，所以.因為，，

所以，所以.

即二面角的餘弦值為.

【點睛】

本題主要考查了直線與平面平行、二面角，屬於中檔題．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題