如圖,在斜三稜柱中,側面⊥底面,側稜與底面成60°的角,.底面是邊長為2的正三角形,其重心為點,是線段上一點,...

問題詳情：

如圖,在斜三稜柱中,側面⊥底面,側稜與底面成60°的角,.底面是邊長為2的正三角形,其重心為點, 是線段上一點,且.

(1)求*://側面;

(2)求平面與底面所成銳二面角的餘弦值;

【回答】

解法1:(1)延長B1E交BC於點F,

∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,

從而點F為BC的中點.

∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點共線.且,

又GE側面AA1B1B,∴GE//側面AA1B1B.                                  …………5分

(2)在側面AA1B1B內,過B1作B1H⊥AB,垂足為H,∵側面AA1B1B⊥底面ABC,

∴B1H⊥底面ABC.又側稜AA1與底面ABC成60°的角,AA1=2,∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= 

在底面ABC內,過H作HT⊥AF,垂足為T,連B1T,由三垂線定理有B1T⊥AF,

又平面B1CE與底面ABC的交線為AF,∴∠B1TH為所求二面角的平面角.      …………8分

∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH.在Rt△B1HT中,,

從而平面B1GE與底面ABC成銳二面角的餘弦值為.               …………12分

解法2:(1)∵側面AA1B1B⊥底面ABC,側稜AA1與底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,    

又AA1=AB=2,取AB的中點O,則AO⊥底面ABC. 

以O為原點建立空間直角座標系O—如圖,  

則,,,,,. 

∵G為△ABC的重心,∴.,∴,

∴.      又GE側面AA1B1B,∴GE//側面AA1B1B.  …………6分

(2)設平面B1GE的法向量為,則由得 

可取 又底面ABC的一個法向量為 

設平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則. 

故平面B1GE與底面ABC成銳二面角的餘弦值為.                 …………12分

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題