如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB於點P，過點B的直線交OP的延長線於點C，且CP＝CB．（1）求*：BC...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB於點P，過點B的直線交OP的延長線於點C，且CP＝CB．

（1）求*：BC是⊙O的切線；

（2）若OA＝5，OP＝3，求CB的長；

（3）設△AOP的面積是S1，△BCP的面積是S2，且．若⊙O的半徑為4，BP＝，求tan∠CBP．

【回答】

【解析】（1）*：連線OB，如圖，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP＝90°，

∴∠A+∠APO＝90°，

∵CP＝CB，

∴∠CBP＝∠CPB，

而∠CPB＝∠APO，

∴∠APO＝∠CBP，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：設BC＝x，則PC＝x，

在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，

∵OB2+BC2＝OC2，

∴52+x2＝（x+3）2，

解得x＝，

即BC的長為；

（3）解：如圖，作CD⊥BP於D，

∵PC＝PB，

∴PD＝BD＝PB＝，

∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD，

∴△AOP∽△PCD，

∵，

∴，

∴，

∵OA＝4，

∴CD＝，

∴tan∠CBP＝＝2．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題